Irisan Kerucut ( Lingkaran)

A.          Pengertian 

               Irisan kerucut adalah himpunan (tempat kedudukan) dari semua titik pada bidang datar yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Titik tertentu itu disebut fokus dan garis tertentu ini disebut direktriks.

1.      Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

      Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran

      Jarak yang sama itu disebut jari-jari/radius (r)

Contoh gambar :

·         Persamaan-persamaan lingkaran

1.      Persamaan-persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan berjari jari r

Kedudukan titik M (a,b) terhadap lingkaran dapat ditetapkan sebagai berikut:
a. Titik M (h,k) terletak di dalam L ⟺ (a^2+b^2)< r^2
b. Titik M (h,k) terletak di dalam L ⟺ (a^2+b^2)= r^2
c. Titik M (h,k) terletak di dalam L ⟺ (a^2+b^2)> r^2

2.      Persamaan lingkaran yang berpusat di A (a,b) dan berjari-jari r

Kedudukan titik M (h,k) terhadap lingkaran dapat dituliskan sebagai berikut:
a. Titik M (h,k) terletak di dalam L ≡ (h-a)^2+(k-b)^2 < r^2
b. Titik M (h,k) terletak pada L ≡ (h-a)^2+(k-b)^2 = r^2
c. Titik M (h,k) terletak di luar L ≡ (h-a)^2+(k-b)^2 > r^2

3.      Bentuk umum persamaan lingkaranKedudukan titik M (h,k) terhadap lingkaran yaitu
a. Titik M (h,k) terletak di dalam lingkaran L⟺ h^2 + k^2 + Ak + Bk + C < 0
b. Titik M (h,k) terletak pada lingkaran L⟺ h^2 + k^2 + Ak + Bk + C = 0
c. Titik M (h,k) terletak di luar lingkaran L⟺ h^2 + k^2 + Ak + Bk + C > 0

·         Kedudukan garis terhadap lingkaran

Misalkan garis g dan lingkaran L berturut-turut mempunyai oersamaan g: ax + by = c = 0 dan kedudukan garis g terhadap lingkaran L dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut:

1.      Untuk persamaan garis (yang berbentuk linier), nyatakan x dalam y atau y dalam x.

2.      Substitusikan x dan y yang diperoleh dari langkah 1 kedalam persamaan lingkaran(yangberbentuk kuadrat) sehingga didapatkan persamaan gabungan dalam x atau dari persamaan kuadrat yang diperoleh tentukan diskriminannya

3.      Kedudukan garis g terhadap lingkaran L, ditentukan oleh nilai diskriminan D, sebagai berikut:
a. Jika D > 0 ⟹ garis g memotong lingkaran L didua titik yang berlainan
b. Jika D = 0 ⟹ garis g menyinggung lingkaran L
c. Jika D < 0 ⟹ garis g tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran L

·         Garis-garis singgung pada lingkaran

Garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran

1.      Untuk lingkaran dengan pusat O (0,0) danjari-jari r.

2.      Untuk lingkaran dengan pusat A (a,b) dan jari-jari r

3.      Untuk lingkaran yang dinyatakan dalam bentuk umum

·         Garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu

1.      Untuk lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari r

2.      Untuk lingkaran dengan pusat di A (a,b) dan jari-jari r