Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat dalam x => ax² + bx + c =o  (a,b,c  € R) dan a ≠ 0 

Cara menyelesaikan persamaan kuadrat ada 3, yaitu :

1. Memfaktorkan => (x-a) (x-b) = 0

    Contoh :

    a. X² + 12x +32 = 0 => (x + 4) ( x + 8)

    b. X²  + x – 56   = 0 => (x + 8) (x – 7)

    c. X² -6x – 27    = 0 => (x – 9) (x + 3)

    d. 2x² – 5x – 3   = 0 => (2x – 1) (x + 3)

    e. 3x² – 6x         = 0 => 3x(x – 2)

2. Melengkapi Kuadrat Sempurna => (x - p)² = q

      Ada beberapa langkah, yaitu :

      1.  Koefisien x² harus 1

      2. Konstanta pindah ke ruas kanan {-> x² + mx = n

      3. Diubah ke bentuk kuadrat sempurna (x + p)² = q

   

    Contoh :

    a. x² + 8x + 12            = 0

        x² + 8x                     = -12

        x² + 8x + (1/2 . 8)² = -12 + (1/2 . 8)²

        x²   + 8x + 16          = -12 + 16

               (x + 4)²             = 4

                x + 4                = ±√4

                      x                 = -4 ± 2

                      x                 = -6 , -2

3. RUMUS ABC => x_1,2 = { -b ± √(b² - 4ac) } / 2a

   Contoh :

    a. x² + 8x + 5 => x_1,2 = { -8 ± √(8² – 4.1.5) } / 2.1

                                          = { -8 ± √(64 – 20) } / 2

                                          = ( -8 ± √39 ) / 2

Penjumlahan dan Pekalian akar2 Penyelesaian Persamaan Kuadrat
dari x_1,2 = { -b ± √(b² - 4ac) } / 2a dengan D = b² - 4ac maka x₁ = (-b + √D) / 2a dan x₂ = (-b - √D) / 2a
* D adalah Deskriminan

1. x₁ + x₂ = {(-b + √D) / 2a} + {(-b - √D) / 2a}

                    = (-b + √D - b - √D) / 2a

                    = -2b / 2a

                    = -b /a
Jadi, x₁ + x₂ = -b/a

2. x₁ - x₂ = {(-b + √D) / 2a} - {(-b - √D) / 2a}

                  = (-b + √D + b + √D) / 2a

                  = 2√D / 2a

                  = √D /a

Jadi, x₁ - x₂ = √D/a

3. x₁ . x₂ = {(-b + √D) / 2a} {(-b - √D) / 2a}

                  = (b² - D) / 4a²

                  = b² - (b² - 4ac) / 4a²

                  = (b² - b² + 4ac) / 4a²

                  = 4ac / 4a²

                  = c/a

Jadi, x₁ . x₂ = c/a

4. (x₁ + x₂)² = x₁² + 2(x₁ . x₂) + x₂²
     (x₁ + x₂)² - 2(x₁ . x₂) = x₁² + x₂²
Jadi, x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2(x₁ . x₂)

5. (x₁ + x₂)³ = x₁³+ 3x₁². x₂ + 3x₁ . x₂² + x₂³
       (x₁ + x₂)³ -  3x₁². x₂ + 3x₁ . x₂² = x₁³ + x₂³ 
              (x₁ + x₂)³ -  3x₁.x₂(x₁ + x₂)  = x₁³ + x₂³ 
Jadi, x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ -  3x₁.x₂(x₁ + x₂)

Keliling Bangun Datar dan Luas Daerah Bangun Datar

1. Lingkaran 

lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.

panjang r adalah dari titik pusat lingkaran ke titik terluar lingkaran, sedangkan D adalah panjang dati titik terluar lingkaran dengan titik luar lingkaran lain dengan melewati titik tengah. Dengan kata lain r = setengah dari D dan D = 2 kali r.

2. Persegi Panjang 

Luas = Panjang x Lebar

Keliling = 2 x (panjang + lebar) atau K = panjang + lebar + panjang + lebar 

3. Persegi

Luas  = sisi x sisi atau L = s²

Keliling  = 4 x sisi atau K = sisi + sisi + sisi + sisi

4. Trapesium 

Luas = ½ x (diagonal 1 + diagonal 2) x tinggi

Keliling  = (2 x sisi miring) + diagonal 1 + diagonal 2

5. Jajar Genjang

Luas  = alas x tinggi

K = sisi + sisi + sisi + sisi

6. Layang-Layang

7. Belah Ketupat

           Belah ketupat adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang sama panjang, dan memiliki dua pasang sudut bukan siku-siku yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya. Belah ketupat dapat dibangun dari dua buah segitiga sama kaki identik yang simetri pada alas-alasnya.

8. Segitiga 

          Segitiga adalah bangun datar yang memiliki 3 titik sudut dan memiliki 3 sisi. Segitiga memeiliki banyak bentuk diantaranya segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, segitiga siku-siku dan segitiga sembarang.

Luas = ½ x alas x tinggi atau L = (alas x tinggi) / 2

Keliling  = sisi + sisi + sisi

Khusus untuk Segitiga Siku-siku, panjang sisi miring terpanjang dapat dicari dengan menggunakan rumus phytagoras yaitu : 

Dimensi Dua (Sudut Bangun Datar)

Dimensi Dua

Kompetensi Dasar dalam Standar Kompetensi Dimensi Dua adalah Sudut Bangun Datar, Keliling Bangun Datar dan Luas Daerah Bangun Datar dan Transformasi Bangun Datar 

 

 

SuDut Bangun DaTar

a) Definisi dan Pengukuran Sudut

          Sudut Adalah Daerah yang dibatasi oleh dua garis dan titikk. Untuk menyatakan nama, disertai suatu sudut dilambangkan dengan : "<" Huruf-huruf Yunani seperti : a, B, 0 dan lain-lain. Untuk mengukur sudut biasanya digunakan dengan busur.

 Cara Mengukur besarnya sudut dengan busur :

- Letakkan menempel garis 0 derajat pada busur ke salah satu ruas garis yang akan diukur besar sudutnya.

- Letakkan titik pusat busur ( titik pusat 1/2 lingkaran ) pada titik sudut dan ruas garis yang terletak didalam      busur.

- Ukur besar sudutnya dengan menggunakan skala pada busur.

Secara Garis Besar, besarnya suatu sudut terbagi menjadi tiga bagian, yaitu :

- Sudut lancip yaitu sudut yang besarnya kurang dari 90 derajat.

- Sudut siku-siku yaitu sudut yang besarnya 90 derajat.

- Sudut tumpul yaitu sudut yang besarnya lebih dari 90 derajat.

b) Pengubahan derajat ke radian atau sebaliknya.

Pengukuran sudut  berdasarkan ukuran radian didasarkan anggapan bahwa :

" satu radian = besarnya sudut pusat lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari"

- Konvensi Derajat ke Radian

 

- Konvensi Radian ke Derajat 

 

Irisan Kerucut (Parabola)

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya terhadap titik tertentu sama dengan garis tertentu
Yang dimaksud titik tertentu adalah titik pusat, sedangkan garis tertentu adalah garis direktris.

Untuk membuat persamaan parabola, perhatikan gambar grafik parabola berikut

Jarak parabola ke direktris = Jarak parabola ke fokus
DP = PF

(x + p)² +0² = (x-p)² + y²
x² + 2px + p² = x² – 2px + p² + y²
4px = y²
y² = 4px
Jadi, persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan membuka ke kanan adalah

y² = 4px

Dengan cara yang sama kita bisa membuat persamaan parabola berikut
persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan membuka ke kiri adalah

y² = -4px

persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan membuka ke atas adalah

x² = 4py

persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan membuka ke bawah adalah

x² = -4py

Irisan Kerucut ( Lingkaran)

A.          Pengertian 

               Irisan kerucut adalah himpunan (tempat kedudukan) dari semua titik pada bidang datar yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Titik tertentu itu disebut fokus dan garis tertentu ini disebut direktriks.

1.      Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

      Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran

      Jarak yang sama itu disebut jari-jari/radius (r)

Contoh gambar :

·         Persamaan-persamaan lingkaran

1.      Persamaan-persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan berjari jari r

Kedudukan titik M (a,b) terhadap lingkaran dapat ditetapkan sebagai berikut:
a. Titik M (h,k) terletak di dalam L ⟺ (a^2+b^2)< r^2
b. Titik M (h,k) terletak di dalam L ⟺ (a^2+b^2)= r^2
c. Titik M (h,k) terletak di dalam L ⟺ (a^2+b^2)> r^2

2.      Persamaan lingkaran yang berpusat di A (a,b) dan berjari-jari r

Kedudukan titik M (h,k) terhadap lingkaran dapat dituliskan sebagai berikut:
a. Titik M (h,k) terletak di dalam L ≡ (h-a)^2+(k-b)^2 < r^2
b. Titik M (h,k) terletak pada L ≡ (h-a)^2+(k-b)^2 = r^2
c. Titik M (h,k) terletak di luar L ≡ (h-a)^2+(k-b)^2 > r^2

3.      Bentuk umum persamaan lingkaranKedudukan titik M (h,k) terhadap lingkaran yaitu
a. Titik M (h,k) terletak di dalam lingkaran L⟺ h^2 + k^2 + Ak + Bk + C < 0
b. Titik M (h,k) terletak pada lingkaran L⟺ h^2 + k^2 + Ak + Bk + C = 0
c. Titik M (h,k) terletak di luar lingkaran L⟺ h^2 + k^2 + Ak + Bk + C > 0

·         Kedudukan garis terhadap lingkaran

Misalkan garis g dan lingkaran L berturut-turut mempunyai oersamaan g: ax + by = c = 0 dan kedudukan garis g terhadap lingkaran L dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut:

1.      Untuk persamaan garis (yang berbentuk linier), nyatakan x dalam y atau y dalam x.

2.      Substitusikan x dan y yang diperoleh dari langkah 1 kedalam persamaan lingkaran(yangberbentuk kuadrat) sehingga didapatkan persamaan gabungan dalam x atau dari persamaan kuadrat yang diperoleh tentukan diskriminannya

3.      Kedudukan garis g terhadap lingkaran L, ditentukan oleh nilai diskriminan D, sebagai berikut:
a. Jika D > 0 ⟹ garis g memotong lingkaran L didua titik yang berlainan
b. Jika D = 0 ⟹ garis g menyinggung lingkaran L
c. Jika D < 0 ⟹ garis g tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran L

·         Garis-garis singgung pada lingkaran

Garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran

1.      Untuk lingkaran dengan pusat O (0,0) danjari-jari r.

2.      Untuk lingkaran dengan pusat A (a,b) dan jari-jari r

3.      Untuk lingkaran yang dinyatakan dalam bentuk umum

·         Garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu

1.      Untuk lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari r

2.      Untuk lingkaran dengan pusat di A (a,b) dan jari-jari r